Estrategia Proporciones y Porcentajes

Hoy aprendimos sobre las razones, proporciones y porcentajes, de primero explicaré cada una de estas.

Las razones: es el resultado de comparar dos cantidades y será siempre un número real. La razón: 𝑥: 𝑦 (Se lee 𝑥 es a 𝑦) donde a 𝑥 le llamaremos antecedente, y a 𝑦 consecuente.

Las proporciones: se le denomina proporción a la igualdad de dos razones. Una proporción se puede escribir de las formas: 𝑎: 𝑏: 𝑐: 𝑑 que se lee: “𝑎 es a 𝑏 como 𝑐 es a 𝑑”.

Los porcentajes: un porcentaje es una razón en la cual el consecuente es 100. La razón representa un porcentaje y se puede escribir así: 

Fue un poco diferente la clase del día de hoy ya que no fue con el mismo catedrático pero el licenciado que nos llegó a cubrir dominaba el tema y nos guio en la clase. Estos temas ya los había visto anteriormente y me gustan mucho porque los entiendo y se resolver problemas con ellos. 

Debo de aprender a utilizar el método Pólya en estas estrategias para realizar de mejor forma la resolución de los problemas. 

Estrategia Hacer una Figura o Diagrama

Hoy tuvimos un día completamente diferente a lo normal, tuvimos la clase de forma virtual, pero eso no fue impedimento para que aprendiera sobre esta nueva estrategia. 

Esta estrategia me parece importante ya que muchas personas se le hace más sencillo y más útil dibujar o realizar un esquema, esto ayuda a tener una mejor idea y visualización de lo que el problema pide. En la figura se colocan todos los datos conocidos que da el problema y los datos que se pretenden encontrar. 

El primer ejemplo que vimos en clase fue el que más me ayudo a entender la estrategia: 

Un hombre debe llevar un zorro, una cabra y un repollo al otro lado de un río. El bote solo da cabida al hombre y a una de sus tres posesiones. Si lleva consigo al repollo, el zorro se come a la cabra. Si lleva el zorro, la cabra se come al repollo. Únicamente estando presente el hombre quedan la cabra y el repollo a salvo. ¿Cómo consigue el hombre cruzar el río con sus tres bienes?

Fue un poco complicado al inicio ya que el ser virtual la información no se puede comprender a la primera pero poco a poco pude entender el ejemplo y dejarlo claro, el hombre consigue cruzar el río después de 7 viajes. 

NOTA: Debemos de aplicar los 4 pasos de Pólya. Recordemos que es una estrategia y que se debe de cumplir con cada uno de los pasos.

Estrategia Volver hacia Atrás

El día de hoy aprendimos sobre la estrategia de Volver hacia Atrás que consiste en partir del dato final o la solución, ir pensando hacia atrás paso a paso, hasta llegar a los datos originales. Se recorre la secuencia de pasos al contrario, para ir de los datos conocidos a la solución. 

Esta estrategia se me hizo muy sencilla desde el inicio ya que comprendía a la primera su funcionamiento y me parece un análisis muy único de ver las cosas. Mostraré el ejemplo que me ayudó a mi a comprender el tema:

Lo que más me parece importante de esta clase es el resolver cada problema con el método de Pólya, analizar cada uno de los problemas, entenderlo, definir la estrategia (en este caso volver hacia atrás), realizarla y luego comprobar y verificar los resultadas.

Estrategia Hacer una Lista o Cuadro

Hoy aprendimos dos estrategias nuevas, Hacer una Lista o Cuadro, ambas son estructuras que van de la mano hasta el punto de creer que son muy parecidas inclusive iguales, ya que nos permiten organizar información. Pero es importante entender cada una por separado, así que daré una breve explicación sobre cada una: 

Lista: Es una estructura en 1 dimensión. Es importante Hacer una lista ya que muchas veces los problemas poseen bastante información, el realizar una lista nos ayuda a tener mas organizada la información. De esta manera se podrá identificar los datos dados y encontrar una solución.

Cuadro o tabla: Es una estructura con 2 o más dimensiones. Entre más específico sea un cuadro, más fácil va a ser resolver el problema y entenderlo. El resolver problemas utilizando esta estrategia me permite ser más ordenado y me ayuda a enfocarme y transmitir mis ideas. Debemos ser muy cuidadoso con lo que colocamos y marcamos en los cuadros que realizamos ya que si cometemos un error sin darnos cuenta posiblemente todos los siguientes datos pueden estar equivocados y tener dificultades para encontrar la respuesta correcta.

En clase pudimos realizar un ejemplo que me ayudo a comprender de mejor forma el cuadro o tabla: 

Una dama está leyendo un libro de 246 páginas. Cada noche lee 8 páginas, pero a partir de la segunda noche vuelve a leer una página de la noche anterior, para darle seguimiento a la lectura. ¿Cuántas noches tardará en leer todo el libro?

Se debe de hacer una tabla con tres columnas cuyos títulos sean: "No. de noche", "Páginas Inicial" y "Página Final"; comenzar con la noche número 1 la cantidad de 8 páginas leídas y un total, por el momento, de 8 páginas leídas; seguido de la noche número 2 la cantidad de 8 páginas inicial y un total, hasta ahora de 15 páginas (se le sumaron a las primeras 8 las 8 siguientes); continuar con la noche número 3 la cantidad de 15 páginas inicial y un total de 22 páginas leídas, y así sucesivamente hasta encontrar en la columna "TOTAL" el número 246 (que es el total de páginas que posee el libro completo) y como podrán ver a continuación la respuesta es 35 noches. 

A pesar que fue una clase muy entretenida y un tema muy importante a mi punto de vista, la clase se me hizo muy cansada y tediosa, los problemas se me complicaron bastante y me costó realizar algunos ejercicios en clase.

Estrategia Buscar un Patrón

El día de hoy aprendimos la estrategia de Buscar un Patrón, este método se puede utilizar para buscar patrones en los datos con la finalidad de resolver problemas. La finalidad de dicha estrategia es buscar datos o números que se repiten, o bien buscar eventos que se repiten. 

Existen varios patrones que pueden aparecer en esta estrategia. A continuación mencionaremos algunos para dar a conocer los diferentes patrones que existen.

1. SUCESIONES GRÁFICAS: Para resolver el problema con este patrón se sugieren estos pasos: Observar el contenido de los 3 primeros cuadros de la secuencia, Determinar cuál es el cambio que se genera a través de ellos, Aplicar mentalmente ese cambio para generar el cuarto cuadro, luego verificar su relación con la sucesión original, Analizar las 3 respuestas que se tienen como alternativas y elegir aquella que concuerde con la idea generada en el paso anterior. 

Ejercicio en clase:

Respuestas:

2. PATRONES NUMÉRICOS: En muchos ejercicios se puede aplicar el razonamiento inductivo para determinar el siguiente número en la lista. Probablemente sea necesario usar la calculadora para establecer correctamente las relaciones entre uno y otro elemento de la secuencia. Habiendo determinado la lógica de la secuencia, se debe aplicar para encontrar el próximo elemento.

Ejercicio en clase:

1) 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81     131

2) 4, 12, 36, 108, 324, 972      2916

3) 49, 42, 35, 28, 21, 14          7

4) 16, 8, 4, 2, 1, ½, ¼            1/8

5) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49        64

6) 3, 7, 11, 13, 17, 19            21 o 23

7) 5, 15, 45, 135, 405, 1215       3645

8) 121, 100, 81, 64, 49, 36       25

3. DIFERENCIAS SUCESIVAS: Algunos ejercicios numéricos no pueden resolverse por simple inspección, entonces se utiliza este método para determinar el siguiente número en la secuencia. Se denomina ‘diferencias sucesivas’ porque se calcula la diferencia (la resta) entre las parejas de números, de forma sucesiva, hasta encontrar un patrón. La particularidad de este método es que se forma un triángulo invertido con los cálculos generados con las diferencias sucesivas, este es un tema que vimos en la sesión 2 en la clase.

4. OTROS EJERCICIOS DE PATRONES NUMÉRICOS: Existen otro tipo de ejercicios, en los cuales la regularidad con que se presentan los elementos cambia y de ellos tiene que inferirse su regla de formación, son patrones recurrentes. Se mostrará un ejemplo del tema para mejor comprensión:

Determinar la suma de los primeros 30 números impares. 

1 , suma es 1 

1 + 3, la suma es 4 

1 + 3 + 5, la suma es 9 

1 + 3 + 5 + 7, la suma es 16 

¿Cuál es la respuesta? 

30 = la suma es 900 = 30²

5. MÉTODO DE GAUSS: Cuando Carl Friedrich Gauss (1777-1855) era muy joven, su profesor les pidió a todos los alumnos que encontraran la suma de los primeros 100 números naturales. El método de Gauss explica que entre 1 y 100, hay 50 pares de números cuya suma es 101, por lo tanto la suma de todos ellos debía ser 50 x 101 = 5050.

Este método se puede aplicar para encontrar la suma de 1 + 2 + 3 + …+ n, donde n es cualquier número natural. El resultado sería: 

Aplicando este método, realizaremos algunos ejercicios:

 

a) 1 + 2 + 3 + … + 498 + 499 + 500 = 125,250

b) 2 + 4 + 6 + … + 996 + 998 + 1000 = 500,500

c) 5 + 10 + 15 + … + 2990 + 2995 + 3000 = 4,501,500

Esta sesión fue un poco cansada ya que realizamos bastantes cosas y vimos muchos temas pero fue entretenido buscar los patrones y las secuencias con mis compañeras. A pesar que estuve cansada aprendí mucho y seguramente los ejercicios ayudaron mi desarrollo en comprensión de problemas.

Estrategia Considerar un Problema Similar, Más Simple

Al tener un problema complejo suele ser de gran ayuda realizar un problema más sencillo que esté relacionado con el que se tiene que resolver, pero que su resolución sea más simple. Esto nos quiere decir que en un problema sencillo similar se pretende buscar una relación o datos parecidos que involucren una idea a la situación que se plantea y estos conocimientos aplicarlos al problema complejo para llegar a la solución final.

La definición anterior nos indica que esta estrategia nos va a ayudar a crear un problema más sencillo de un problema complicado, esto sustituyendo algunos valores en donde se nos haga más sencillo visualizarlo y así realizarlo sin ningún problema, claro está que en el momento que se sustituyen los valores deben ser relacionados con el problema complejo, esto simplemente ayudará a realizar este problema con mayor facilidad y rapidez.

Se podría decir que es una estrategia sencilla de aplicar, sin embargo, si no podemos proyectar un problema sencillo de un problema complejo, podemos dificultarnos más el resolver dicho problema, por lo que hay que concentrarse bien y encontrar las similitudes en los problemas para resolver como se debe el problema que se nos brinde. Hay que saber razonar y plantear un problema de otro. A mi parecer es poder transcribir lo que imaginamos o visualizamos.

El día de hoy en clase realizamos una actividad con 24 fósforos o palillos para poder practicar esta estrategia.

A continuación, mostraré el resultado de la actividad y tarea:

Este ejercicio me ayudo a poder pensar diferentes soluciones para un solo problema y a no rendirme en el momento que fallara una solución y continuar buscando nuevas hasta que consiguiera la figura final.

Estrategia Ensayo y Error

Iniciamos la clase con una introducción muy bonita y entretenida. Teníamos que hacer con una sola hoja una rana en origami, una rana que saltara cuando uno la presionara. Las instrucciones eran que uno podía hacerlo de cualquier forma, investigando o buscando en internet, no se podía cortar y pegar en la hoja y no se podía usar otra hoja a parte de la que se nos proporcionó. Utilicé un video tutorial de YouTube  para poder crear mi rana. Este es el link: https://www.youtube.com/watch?v=btcmfyfcvHE 

Después de seguir cada paso del tutorial y asegurarme que todo quedara igual, logré terminar mi rana con éxito y podía saltar sin ningún problema. Esta es la foto de mi ranita. 

Después de esta actividad introductoria aprendimos sobre una estrategia que se puede utilizar para elaborar un plan en el segundo paso del método de Pólya, esta es la estrategia de Ensayo y Error. Es una estrategia de obtención de conocimiento, reparación o solución de problemas en la cual se prueba una posibilidad y luego se comprueba si sirve o no, por lo que también es conocida como el método de prueba y error. En el caso de que el resultado no sea el esperado, se intenta con una nueva alternativa, y así, hasta obtener un resultado positivo. 

El Ensayo y Error funciona de la siguiente forma: se prueba una opción y se observa si funciona, Si funciona, entonces se tiene una solución. Si no, esto es un error y se intenta otra opción. Para poder decidir que opción se puede utilizar, pueden ser de diferentes formas, pero la más utilizada es  la opción que se ve como la más probable, se prueba primero, seguido de la siguiente más probable y así sucesivamente hasta que se encuentre una solución o hasta que se agoten todas las opciones.

Recordemos que este método al ser una estrategia para resolver un problema en específico se debe de utilizar mediante el método de Pólya, esto quiere decir que de primero debemos de entender el problema, después escoger la estrategia de Ensayo y Error, posterior mente realizarlo hasta obtener una respuesta positiva y por último debemos comprobar y revisar el resultado.

Es un método que debemos de aprender ya que seguramente vamos a utilizar en nuestro vida laboral. Servirá para resolver problemas que surjan en el trabajo o estudio y es una forma de medir y aprender a mejorar nuestra paciencia o nuestro manejo de actitudes. Fue un tema muy fácil de comprender y de continuar ya que nos muestra no importa cuantas veces nos equivoquemos, debemos de levantarnos y seguir adelante hasta encontrar una solución.

Pasos de Pólya

El Método de Pólya o también conocido como los 4 Pasos de Pólya y sus objetivos principales es desarrollar nuevos procesos para la solución de problemas en cuatro pasos de manera que contribuyan al razonamiento lógico y así facilitar el proceso de aprendizaje en los estudiantes.

Pero primero ¿Quién es Pólya?, George Pólya fue un matemático célebre por sus contribuciones al análisis numérico, la teoría de números y de la probabilidad. También se destacó por su trabajo en combinatoria y heurística y por su labor en la enseñanza de las matemáticas. Nació el 13 de diciembre de 1887 en Budapest, Hungría, y murió el 7 de septiembre de 1985 en Palo Alto, California, Estados Unidos.

Una de las frases célebres de Pólya que considero una ayuda personal: "Si no puedes resolver un problema, entonces hay una manera más sencilla de resolverlo: encuéntrala".

Ahora describiré cada uno de los pasos y datos que ayuden a mejorar su elaboración:

1. Comprender el problema: Para poder resolver un problema se debe iniciar con la lectura, análisis y la recaudación de datos. No puede solucionarse un problema si no se comprende lo que piden resolver, no importa la cantidad de veces que se necesite leer el problema para lograr entenderlo. Para saber si se ha entendido el problema se puede responder algunas de estas preguntas: ¿Qué condición debe cumplir?, ¿Entiende lo que se dice?, ¿Puede replantearse el problema en sus propias palabras?, entre otros.

2. Formular un plan: Hay muchas formas de resolver un problema, por lo que es importante decidir qué plan o estrategia es apropiada. Algunas estrategias que se pueden utilizar son: Ensayo y error, Buscar un patrón, Hacer un cuadro o lista, Resolver un problema simila
r más sencillo.

3. Ejecutar el plan: Si se ha elegido el plan o estrategia, éste se debe llevar a cabo hasta haber resuelto completamente el problema o hasta que esta acción sugiera tomar otro rumbo. Debe tomarse el tiempo para llevar a cabo el plan y si no tiene éxito, se debe buscar otra forma de resolver el problema.

4. Revisar y comprobar: Es muy importante comprobar la respuesta para verificar que sea razonable y que satisfaga las condiciones iniciales del problema. Se pueden plantar las siguientes preguntas para ver si se resolvió de la mejor forma; ¿Es la solución correcta?, ¿La respuesta satisface lo establecido en el problema?, entre otros.

Este método se me hace una forma clara para organizar las tareas a realizar cuando se nos presente un problema, a continuación presentaré un Mapa Conceptual con ideas puntuales del Método de Pólya.

Este es el enlace del Mapa Conceptual: 

https://www.goconqr.com/es/flowchart/33751121/los-4-pasos-de-polya

Seguramente utilizaré este método para resolver problemas en mi vida cotidiana, este tema me parece muy importante para mi profesión y mi futuro laboral.

Diferencias Sucesivas

En esta segunda sesión tuvimos 2 momentos importantes, de primero realizamos unos juegos mentales de secuencias numéricas que nos introdujeron al tema de Diferencias Sucesivas. Las secuencias numéricas es una forma de aplicar el razonamiento inductivo ya que se toma caso por caso para encontrar un dato en específico, por ejemplo: 32, 16, 8, 4, 2.....1. Esto es porque cada dato se divide entre 2 para obtener el siguiente resultado.

En la segunda parte de la clase aprendimos sobre las Diferencias Sucesivas, hay veces que las secuencias no logran identificarse a primera vista y gracias a las diferencias sucesivas logramos obtener el resultado. El método de diferencias sucesivas consiste en encontrar la diferencia entre dos números sucesivos, es decir, la diferencia del segundo número con el primer número, la diferencia del tercer número con el segundo número y así sucesivamente hasta encontrar una constante. 

Pero, ¿Cómo encontramos esa constante? bueno mostraré a continuación un ejemplo para explicarlo de mejor forma.

Tenemos una serie de números la cuál es, 2, 6, 22, 56, 114....... debemos encontrar el siguiente número.

Lo primero que haremos es encontrar la diferencia en este primer nivel, esta se obtiene restando cada número sucesivamente. La diferencia entre 6 y 2 es 4, la diferencia de 22 y 6 es 16, la diferencia de 56 y 22 es 34 y la diferencia de 114 y 58 es 58. Como se observa no hay ninguna constante aún, así que debemos realizar el mismo método para encontrar las diferencias para el segundo nivel. La diferencia entre 16 y 4 es 12, la diferencia entre 34 y 16 es 18 y la diferencia entre 58 y 34 es 24. En este segundo nivel tampoco llegamos a una constante, realizaremos esto de nuevo para encontrar el tercer nivel. La diferencia de 18 y 12 es 6 y la diferencia de 24 y 18 es 6. Ahora que encontramos la constante podemos encontrar el siguiente número.

Para encontrar el número se debe de subir cada nivel hasta llegar al 114, los niveles se suben sumándose entre sí, el 6 se suma con el número de arriba, 6 mas 24 da 30, el 30 se suma con el siguiente nivel, 30 mas 58 es 88, y este se suma nuevamente con el de arriba para encontrar el resultado, 88 mas 114 es 202. El número 202 es el siguiente número de la sucesión. 

Este proceso se realizará para encontrar los demás números siguientes, por ejemplo, si se desea encontrar el 3 número siguiente, se debe de sumar desde abajo hasta arriba con todos los números, como hicimos para encontrar el 202, se repetiría el mismo procedimiento 3 veces para obtener ese resultado.

A continuación mostraré este ejemplo de forma gráfica:

NOTA: No olvides sumar hasta el último número de arriba.

Ahora mostraré un ejemplo aplicado para el área económico empresarial:

En una empresa dedicada a la venta y comercialización de ropa, han observado que en los últimos 5 meses han tenido un crecimiento de sus ventas y desean calcular a cuánto podrían aumentar en el siguiente mes. El crecimiento ha sido: 8, 22, 42, 68, 100.......

Para encontrar las ventas del siguiente mes haremos el procedimiento de diferencias sucesivas.

El siguiente mes las ventas podrían aumentar a 138.

Este proceso podría ser un poco tedioso al inicio o podría ser difícil si no se restan bien los números o si no se coloca un número correcto. Pero considero que es un tema bastante entretenido que ayuda a mejorar mi capacidad de razonamiento.

Tipos de Razonamiento

De primero debemos conocer que un razonamiento está conformado por premisas que llegan a una conclusión, pueden ser varias premisas pero solo existirá una conclusión.

Un razonamiento no pueden ser solo premisas o conclusiones, esto quiere decir que solo premisas no es un razonamiento y que una sola conclusión no es un razonamiento. Tiene que ser una premisa o una serie de premisas que lleguen a una conclusión. 

Existen 3 tipos de razonamientos los cuales se presentarán a continuación:

1. El Inductivo: es el que va de lo particular a lo general.  

  

2. El Deductivo: es el que va de lo general a lo particular. 

      

3. El Analógico: existen dos formas del razonamiento analógico, del particular al particular y del general al general. Estos pueden tomarse como comparaciones.

    

 

A continuación se encontrarán ejemplos para mejor comprensión:

1. Inductivo: 

Ayer me dolía el estómago, hoy también me duele el estómago-----Estoy enferma, tengo que ir al doctor.

2. Deductivo: 

En la clase de Matemáticas a todos les gusta el color azul….. 

Carlos está en la clase de Matemáticas-----a Carlos le gusta el color azul.

3. Analógico: 

-Me gusta tomar café en la mañana porque me quita el frío-----Todos los días tomaré café.

-Al momento de llamar por teléfono para pedir comida a domicilio se tardan 45 minutos para entregarlo en mi casa-----Se debe de pedir la comida con 45 minutos antes de lo que normalmente se come.